---

Algebra del 8

Faktorisering

Faktorer är tal eller uttryck mellan vilka det står gångertecken. Detta avsnitt ska visa hur man kan skriva om ett uttryck med termer till ett uttryck med faktorer. Ibland kan det nämligen vara nödvändigt för att förenkla ett uttryck.

Utbrytning

Tidigare har du lärt dig att 3(2 + 5x) = 6 + 15x. Nu ska vi gå baklänges. Målet är att få ett tal eller ett uttryck gånger en parentes.

Om man har två termer som bägge går att dividera med ett och samma tal, kan man bryta ut detta tal. Om vi tar exemplet ovan, 6 + 15x så ser du att 6 och 15 går att dividera med 3. Om du gör det får du 2 + 5x. Du sätter svaret inom en parentes och placerar trean framför parentesen, 3(2 + 5x). Så här kan man skriva det:

6 + 15x = 3 · 2 + 3 · 5x = 3(2 + 5x)

Vi tar ett exempel till:

10x + 50 = 10 · x + 10 · 5 = 10(x + 5)

Här kunde vi ha nöjt oss med att bryta ut 5, men för det mesta tjänar man på att bryta ut så mycket som möjligt.

14c – 7 = 7 · 2c – 7 · 1 = 7(2c – 1)

Utbrytning av algebraiska uttryck

Det är inte bara kända tal som går att bryta ut. Man kan också bryta ut algebraiska uttryck:

ab – ac = a(b – c)

5t – ct = t(5 – c)

x² + 3x = x · x + 3 · x = x(x + 3)

5t⁴ – 15t³ = 5t³ · t – 3 · 5t³ = 5t³(t – 3)

Man kan alltid bryta ut lägsta potensen av varje bokstav. Nedan följer några exempel där vi hoppat över mellanledet och gått direkt på svaret:

8a³x⁴ + 24 a²x⁴ = 8a²x⁴(a + 3x)

18c⁷t¹⁰ – 27c²t⁹ = 9c²t⁹(2c⁵t – 3)

5x⁴ + 25c²x⁵ = 5x⁴(1 + 5c²x)

Observera att när en hel term, som i detta fall 5x⁴, bryts ut blir det kvar en etta i parentesen. Man kan alltid kontrollera att man har gjort rätt genom att multiplicera parentesen med det tal man brutit ut och se om man får det ursprungliga uttrycket.

Man kan även faktorisera fler termer än två genom utbrytning:

ab + ac + ad = a(b + c + d)

5a² + 10ab – 15a = 5a(a + 2b – 3)

Ibland kan man till och med bryta ut en hel parentes:

3(5 – t) + a(5 – t) = (5 – t)(3 + a)

Vi bryter alltså ut (5 – t) som ju är gemensam för bägge termerna. I exemplet nedan bryter vi ut (c – t):

a(c – t) – b(c – t) = (c – t)(a – b)

Konjugatregeln baklänges

Du vet sedan tidigare att (a + b)(a – b) = a² – b². Vänster sida är faktoriserad. Den består av två parenteser gånger varandra. Höger sida består av två termer.

Om man har två jämna kvadrater med ett minustecken emellan kan man faktorisera uttrycket genom att ta konjugatregeln baklänges.

Vad är då en jämn kvadrat? Jo, om man tar ett tal eller ett uttryck och multiplicerar det med sig själv får man en jämn kvadrat:

3 · 3 = 9	Alltså är 9 en jämn kvadrat
x · x = x2	Alltså är x2 en jämn kvadrat
5a3 · 5a3 = 25a6	Alltså är 25a6 en jämn kvadrat
1/2 · 1/2 = 1/4	Alltså är 1/4 en jämn kvadrat

Däremot finns det inget heltal som gånger sig själv blir 7. Alltså är 7 ingen jämn kvadrat. Ett potensuttryck måste ha jämn exponent för att vara en jämn kvadrat.

t² – 9 = (t + 3)(t – 3)

Vi har två jämna kvadrater med minustecken emellan. Alltså kan vi använda konjugatregeln baklänges. Ordningen mellan parenteserna spelar ingen roll. Vi kan lika gärna skriva:

t² – 9 = (t – 3)(t + 3)

Några exempel till:

16 – x² = (4 + x)(4 – x)

36c² – 1 = (6c + 1)(6c – 1)

Konjugatregeln går bara att använda för faktorisering om det står ett minustecken mellan de båda jämna kvadraterna. x² + 9 går alltså inte att faktorisera.

Däremot blir x² – 9 = (x + 3)(x – 3)

Kvadreringsreglerna baklänges

Du kommer väl ihåg kvadreringsreglerna:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Om man har tre termer, varav två är jämna kvadrater kan man prova att faktorisera med hjälp av kvadreringsregeln baklänges. Man måste då prova om även den tredje termen stämmer.

I uttrycket 9 + 6c + c² finns det två jämna kvadrater: 9 och c². Alltså kan vi prova att faktorisera med hjälp av kvadreringsregeln.

Man tänker så här: Vad är det som gånger sig själv blir 9? Jo 3. Vad är det som gånger sig själv blir c²? Jo c. Man kan alltså tänka sig att prova med (3 + c)² (vi tar plus eftersom termen 6c är positiv).

Men för att vara säker måste man också prova den tredje termen, 6c (den som här står i mitten). Enligt kvadreringsregeln ska man ta första termen i parentesen gånger den andra och multiplicera med 2.
Eftersom 3 · c · 2 = 6c går det fint att faktorisera så här:

9 + 6c + c² = (3 + c)²

Här kommer nu ytterligare några faktoriseringar med hjälp av kvadreringsreglerna. De jämna kvadraterna är understrukna. Den tredje termen (var den nu står i uppställningen) är uträknad till höger som kontroll.

25 + 10x + x2 = (5 + x)2	5 · x · 2 = 10x
c2 + 100 + 20c = (c + 10)2	c · 10 · 2 = 20c
a2 – 18a + 81 = (a – 9)2	a · 9 · 2 = 12t

Om vi däremot tittar på uttrycket t² – 10t + 36 så går det inte att faktorisera till (t – 6)² eftersom t · 6 · 2 = 12t. Nästa uttryck går däremot bra att faktorisera med kvadreringsregeln:

16a⁴ + 24a²t³ + 9t⁶ = (4a² + 3t³)²

Vi kontrollerar väl tredje termen för säkerhets skull:

4a² · 3t³ · 2 = 24a²t³

Ett tal gånger sig själv kan aldrig bli negativt. Du minns väl teckenreglerna? Du vet att 3 · 3 = 9, men även att (–3) · (–3) = 9. Därför måste de jämna kvadraterna alltid vara positiva. Om någon av dem inte är det kan man inte faktorisera med hjälp av kvadreringsreglerna

Titta på uttrycket x² + 10x – 25. Det går alltså inte att faktorisera eftersom det har ett minustecken framför termen 25.

Flera faktoriseringar i samma uttryck

Ibland blir man tvungen att på samma uttryck använda flera olika metoder för att faktorisera så långt som möjligt. Man bör alltid först försöka med utbrytning. Därefter kanske man kan fortsätta på något annat sätt.

5x² – 125 = 5(x² – 25) = 5(x + 5)(x – 5)

Här bröt vi först ut 5. Därefter använde vi konjugatregeln på
x² – 25.

3t² – 6t + 3 = 3(t² – 2t + 1) = 3(t – 1)²

Här bröt vi ut 3. Därefter använde vi kvadreringsregeln på
t² – 2t + 1. Ibland kan man faktiskt använda konjugatregeln två gånger:

x⁴ – 1 = (x² + 1)(x² – 1) = (x² + 1)(x + 1)(x – 1)

Observera att konjugatregeln bara går att använda om det står ett minustecken mellan de jämna kvadreterna. (x² + 1) går alltså inte att faktorisera längre.

Tillbaka till inledningen

Algebra del 9

Förenklingar med faktorisering, att förkorta bort hela parenteser, minsta gemensamma nämnare. Till exempel: