Multiplikation
För att klara multiplikation och även division måste du behärska multiplikationstabellen upp till och med tians tabell. Med den klarar du att multiplicera alla ental med varandra. För att multiplicera större tal, måste man ha en metod att arbeta efter.
Om vi ska multiplicera 12 med 4 i huvudet, kan vi dela upp 12 i ett tiotal och två ental. Bägge ska multipliceras med 4.
4 · 12 = 4 · 10 + 4 · 2 = 40 + 8 = 48
Vi multiplicerar på samma sätt 17 med 5:
5 · 17 = 5 · 10 + 5 · 7 = 50 + 35 = 85
På det här sättet kan man resonera vid varje multiplikation. Men när talen blir större blir det lite besvärligare. Man har därför kommit på en uppställning, eller algoritm, för att förenkla beräkningarna. Den fungerar som ett sorts verktyg för att med papper och penna räkna ut vad två tal gånger varandra blir.
I grunduppställningen för multiplikation ser man till att ställa talen så att man får en rak högerkant. Det talet som innehåller flest siffror placerar man överst. Uträkningen blir lättast då.
Multiplikation där ett av talen är ensiffrigt
Vi börjar lite lätt med att multiplicera 21 med 4.
Du börjar med att multiplicera entalssiffran, i detta fall 1, med 4. Skriv resultatet rakt under ettan i 21. Multiplicera därefter tiotalssiffran, i detta fall 2, med 4. Skriv resultatet rakt under tvåan i 21.
Först multiplicerar du 2 med 3 och får 6. Därefter multiplicerar du 7 med 3 och får 21. Tänk på positionssystemet. Du multiplicerar tiotalet 7 med entalet 3. Svaret blir 21 tiotal, det vill säga 2 hundratal och 1 tiotal. Tillsammans med de 6 entalen blir svaret 216.
Minnessiffra vid multiplikation
Här blir 6 · 3 =18. Men i kolumnen under trean finns bara plats för en siffra. Entalssiffran i 18, i detta fall 8, skriver vi under trean. Tiotalssiffran, i detta fall 1, skriver vi till höger om uppställningen som en minnessiffra.
När vi fortsätter att multiplicera 6 med 8 blir det 48. Här ska minnessiffran 1 läggas till. Vi får då 49. Tiotalet 9 skrivs i kolumnen rakt under åttan. Hundratalet 4 hamnar till höger om uppställningen som en ny minnessiffra. Den ska läggas till vid nästa multiplikation.
Här blir 6 · 7 = 42. Lägger vi till minnessiffran 4 får vi 46. Eftersom det inte finns fler siffror att multiplicera, skriver vi dit hela 46, det vill säga 6 hundratal och 4 tusental. Vi har då äntligen fått fram svaret 4 698.
För att visa att man använt en minnessiffra brukar man stryka över den. Vi har inte gjort det här för att vi vill att minnessiffrorna ska synas tydligt.
Multiplikation av decimaltal
Det viktiga i uppställningen är nu inte var decimalkommat placeras. Se i stället till att du får en rak högerkant. Principen är densamma som vid multiplikation av heltal. Antalet decimaler i svaret får man genom att lägga ihop antalet decimaler hos de tal som ska multipliceras. Decimalerna räknas från höger.
Tillsammans har de bägge talen bara en decimal. Därför innehåller svaret just en decimal.
Observera att decimalkommana inte står under varandra. Under själva uträkningen behöver du inte bry dig om antalet decimaler. När du är färdig räknar du bara efter: Tillsammans har de tal som du multiplicerat 3 decimaler. Därför innehåller också svaret 3 decimaler.
Fast du kanske undrar hur det här hänger ihop med positionssystemet. Vi ska förklara det med hjälp av våra kära gamla tioöringar och ettöringar. En tioöring är ju 0,1 kr, det vill säga en tiondels krona.
Om du multiplicerar en tioöring med tio blir det en krona,
0,1 · 10 = 1. Om du multiplicerar en tioöring med ett blir det tio öre, 0,1 · 1 = 0,1. Men om du multiplicerar tioöringen med en tiondel blir det bara en tiondels tioöring, det vill säga ett öre, det vill säga 0,01 kr, 0,1 · 0,1 = 0,01
Multiplikation där bägge talen har mer än en siffra
Titta på detta exempel:
Eftersom 168 har flest siffror skriver du det överst. Du börjar med att multiplicera 168 med 2 precis som vanligt med en siffra i taget. Det blir 336. Därefter ska du multiplicera 168 med 4. Där måste du stanna och tänka efter en stund.
Man kan säga att en sådan här uppställning egentligen består av två uppställningar. Dels är det multiplikationen där du ska tänka på den raka högerkanten, dels är det en addition och där måste du ha koll på positionssystemet.
Siffran 4 i talet 42 är en tiotalssiffra. När du multiplicerar den med entalet åtta blir svaret tiotalssiffror, 4 · 8 = 32, vilket är 2 tiotalssiffror och tre hundratalssiffror. Trean i 32 lägger du ut som minnessiffra, men tvåan måste stå i kolumnen för tiotal rakt under den andra trean i 336.
Du räknar på samma sätt 4 · 168 = 672. Vad du i praktiken gör är att du skjuter svaret ett steg till vänster. Då placeras siffrorna i 672 så att de får rätt talvärden. Tänk på att varje rad ska räknas ut för sig. Du får aldrig ta med en minnessiffra till raden under.
Därefter adderar du de bägge talen 336 och 672. Observera att entalspositionen i den undre raden är tom. Där kunde det lika gärna ha stått en nolla. 672 i vår uppställning betyder alltså egentligen 6 720.
Ett exempel till med decimaler
Det är ingen skillnad på uträkningen om vi har två decimaltal med flera siffror. Det enda är att du räknar hur många decimaler de bägge talen som multipliceras har. I exemplet nedan har de tillsammans tre decimaler. Därför får även svaret tre decimaler.
Division
För att klara division är det nödvändigt att behärska multiplikationstabellen. Om du ska dividera 12 med 4 kan du tänka på åtminstone två sätt. Du kan tänka så här: Hur många gånger går fyra i tolv? Det går tre gånger. Alltså blir svaret 3.
Du kan också tänka så här: Vad ska jag multiplicera 4 med för att få 12? Jo med 3.Svaret blir förstås 3 den här gången också. På liknande sätt kan du tänka på alla divisioner där talen finns med i multiplikationstabellen.
Ibland går även andra tal lätt att dividera i huvudet. Till exempel: 248/4 = 62. Fyra går 6 gånger i 24. Därefter går 4 två gånger i 8. Alltså blir 248/4 = 62.
Det man egentligen gör är att dela upp 248 i 240 + 8. Så dividerar man först 240 med 4 och får 60. Därefter dividerar man också 8 med 4. Det blir 2. Svaret blir alltså 60 + 2 = 62.
För att klara lite svårare divisioner behövs en speciell uppställning eller algoritm, som det kallas. På olika platser och i olika tider har man använt olika uppställningar för division. Den vi kommer att beskriva här brukar kallas " Den liggande stolen".
En division kan tecknas på olika sätt
248 delat med 4 kan skrivas både så här 248/4 och
. Svaret på en division kallas kvot. Det tal som ska divideras kallas täljare. Det tal som ska divideras med kallas nämnare.
Täljaren/Nämnaren = Kvoten. Eller
.
I Den liggande stolen ser det ut så här:
Vi tar ett exempel som vanligt. Om vi vill räkna ut vad 764/4 är, ser det ut så här i liggande stolen.
Du börjar divisionen från vänster. Hur många gånger går 4 i 7? Det går bara 1 gång. Skriv ettan rakt ovanför sjuan. Ett gånger fyra blir 4. Skriv fyran rakt under sjuan. Dra bort 4 från 7. Det blir 3. Flytta ner nästa siffra. I detta fall 6. Du får då 36.
Vi fortsätter. Hur många gånger går 4 i 36? Det går precis 9 gånger. Skriv nian rakt ovanför sexan i 764. Nio gånger fyra blir 36. Skriv dessa 36 rakt under de 36 som redan står där. Dra bort 36 från 36. Det blir 0. Skriv nollan rakt under sexan i 36. Flytta ner nästa siffra som i detta fall är en fyra. Då står där 04, det vill säga 4.
OK, sista rycket nu. Hur många gånger går 4 i 4? Det går 1 gång. Skriv ettan rakt ovanför fyran i 764. Ett gånger 4 är 4. Skriv den fyran rakt under den fyran som redan står där. Dra bort 4 från fyra. Det blir 0. Eftersom det gick jämnt ut på slutet är divisionen klar. Kvoten, eller svaret, står längst upp i "stolen", 764/4 = 191.
Hur går det till?
Kortfattat kan man säga att gången för att få fram nya siffror i svaret med hjälp av divisionsuppställningen är:
Dela -------Multiplicera--------Dra ifrån----------Flytta ner
Dela -------Multiplicera--------Dra ifrån----------Flytta ner
... till dess att divisionen är klar.En av fördelarna med den liggande stolen är att det går lätt att placera decimalkommat i svaret, när man dividerar ett decimaltal. Decimalkommat i svaret hamnar nämligen rakt ovanför kommat i det tal som ska divideras. Vi tar väl ett exempel:
Till att börja med går inte 7 någon gång i 1. Då fortsätter du och tar med nästa siffra också. Nu går 7 två gånger i 19. Tvåan ska stå rakt ovanför den sista siffran som du tog med. I detta fall rakt ovanför nian. Decimalkommat i svaret hamnar rakt ovanför det komma som finns i 191,8. Alltså mellan sjuan och fyran.
Om divisionen inte går jämnt ut
Titta på detta exempel:
När du drar bort 25 från 28 på slutet blir det 3 kvar. Du kan då fortsätta divisionen genom att lägga till en nolla bakom trean. Nu går 5 precis 6 gånger i 30. Divisionen är slutförd.
Om en division inte går jämnt ut trots att du fyllt ut med en nolla, fortsätter du och lägger till ännu en nolla. I vissa fall går inte divisionen jämnt ut hur många nollor du än lägger till. Du får då avrunda svaret till lämpligt antal decimaler.
