---

Algebra del 3

Algebraiska uttryck i potensform

De regler som gäller för potenser med vanliga kända tal gäller också algebraiska uttryck som är i potensform. Om vi tar uttrycket a⁵ så betyder det att a ska multipliceras med sig själv 5 gånger.

a⁵ = a · a · a · a · a   (jämför 4⁵ = 4 · 4 · 4 · 4 · 4)

Obs!   5a betyder däremot 5 · a

Skillnaden mellan a⁵ och 5a syns klart om vi ger a ett bestämt värde. Låt till exempel a vara 3:

a⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243   men 5a = 5 · 3 = 15

Koefficienter

Ett algebraiskt potensuttryck kan föregås av en koefficient. Det betyder att hela potensuttrycket ska multipliceras med denna koefficient. Man kan göra en direkt jämförelse med tiopotenser.

I uttrycket 3x⁴ kallas

3 koefficient
x⁴ potens
x bas
4 exponent
och det kan skrivas 3 · x · x · x · x

I uttrycket 3 · 10⁴ kallas

3 koefficient
10⁴ potens
10 bas
4 exponent
och det kan skrivas 3 · 10 · 10 · 10 · 10 = 30 000

En sak i taget

Ibland känner man ett värde på bokstaven och ska beräkna hela uttryckets värde. Det är då viktigt att veta att man först måste räkna ut själva potensens värde. Först därefter multiplicerar man detta värde med koefficienten. Här följer ett exempel på hur det kan gå till:

Beräka värdet av uttrycket 3c⁴ om c = 2.

3c⁴ = 3 · 2⁴ = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 48

eller lite kortare

3c⁴ = 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48

Notera i vilken ordning du ska göra de olika momenten: Först sätter du in värdet på c. Därefter beräknar du potensen. Sedan multiplicerar du med koefficienten. Vi tar några exempel till på detta och använder den kortare varianten:

Beräka värdet av uttrycket 5t³ om t = 4.

5t³ = 5 · 4³ = 5 · 64 = 320

Vilket värde får 7a⁴ om a = 3?

7a⁴ = 7 · 3⁴ = 7 · 81 = 567

Vilket värde får 5x⁴ om x = 10?

5x⁴ = 5 · 10⁴ = 50 000   (jämför tiopotenser)

Multiplikation av algebraiska potenser

Om vi har samma bokstav som bas gäller samma regler som för multiplikation av kända potenser och tiopotenser. Man adderar alltså potenserna:

t⁴ · t³ = t⁴⁺³ = t⁷

eller kortare

t⁴ · t³ = t⁷

(t⁴ · t³ = t · t · t · t · t · t · t = t⁷)

c⁹ · c⁴ = c¹³

a⁷ · a³ = a¹⁰

x · x³ = x⁴   (x = x¹)

Uttryck med mer än en bas

Om uttrycket som ska förenklas innehåller mer än en bas måste varje bokstav behandlas för sig. För att se det lite tydligare ska vi titta närmare på följande förenkling:

c²t⁴ · c³t² = c· c· t · t · t · t · c· c · c · t · t = c⁵t⁶

Mellanledet ovan behöver du inte skriva ut. Du adderar bara exponenterna, varje bokstav för sig.

c²t⁴ · c³t² = c²⁺³ · t⁴⁺² = c⁵t⁶

eller ännu kortare

c²t⁴ · c³t² = c⁵t⁶

Några exempel till:

a⁴b⁷ · a³b² = a⁷b⁹

c²f³ · cf⁵ = c³f⁸

c⁴u² · u³ = c⁴u⁵

ab²c³ · a²bc⁵ = a³b³c⁸

Mera koefficienter

Om de algebraiska potensuttrycken som ska multipliceras innehåller koefficienter, multiplicerar du dem på vanligt sätt med varandra:

3a² · 4a⁵ = 3 · 4 · a² · a⁵ =
= 3 · 4 · a · a · a · a · a · a · a = 12a⁷

eller kortare

3a² · 4a⁵ = 12a⁷

Här kommer flera exempel:

4x³ · 5x = 20x⁴

1,5a² · 4a⁹ = 6a¹¹

3a⁴c⁵ · 2a²c² = 3 · 2 · a⁴⁺² · c⁵⁺² = 6a⁶c⁷

eller kortare

3a⁴c⁵ · 2a²c² = 6a⁶c⁷

0,5t⁴x³ · 12tx⁷ = 6t⁵c¹⁰

3a⁴c · 2c²t · at³ = 6a⁵c³t⁴

Skillnad mellan gånger och plus

Observera skillnaden mellan a³ · a³ och a³ + a³.
a³ · a³ = a⁶, men a³ + a³ = 2a³. Däremot är a³ – a³ = 0.

t⁴ · t⁴ = t⁸

t⁴ – t⁴ = 0

2x⁵ · x⁵ = 2x¹⁰

2x⁵ + x⁵ = 3x⁵

4a³ · 2a⁴ = 8a⁷

4a³ + 2a⁴   (går inte att förenkla eftersom exponenterna är olika)

5x⁵ · 3x² = 15x⁷

5x⁵ – 3x² + 2x⁵= 7x⁷ – 3x²   (här går bara x⁵-termerna att förenkla)

Tillbaka till inledningen

Algebra del 4

Division av algebraiska potenser. Till exempel: