Positionssystemet
Ett arv från araberna
År 476 e kr gick det västromerska riket under. Ändå fortsatte man i Europa i mer än tusen år att räkna med romerska siffror. Den som tycker att det är synd att vi slutade med det kan få i uppgift att räkna ut detta tal (du får bara använda romerska siffror):
XXXIV · XCII
Under tiden hade araberna tagit över ett annat sätt att räkna från indierna. I mitten av 1200-talet var det en italiensk matematiker, Leonardo Fibonacci, som insåg det arabiska systemets överlägsenhet. Han tyckte att vi skulle införa det i Europa.
Finessen med det arabiska räknesättet var inte bara de nya siffrorna, utan framför allt positionssystemet med ental, tiotal hundratal och så vidare. Tyvärr var det inte många som brydde sig om Fibonaccis synpunkter. Det tog flera hundra år innan man fattade vitsen med det nya systemet i vår del av världen. Vi tror att det kommer att gå betydligt fortare för dig.
Siffror och tal
För de flesta människor är det nog inte någon större skillnad mellan siffror och tal. För att förstå matematiken och hur vårt talsystem är uppbyggt är det dock nödvändigt att förstå den skillnaden. Om vi till exempel vill skriva antalet sex finns det många olika sätt.
Vi skriver idag: 6
De gamla romarna skrev: VI
På datorns språk skrivs det: 110
Symbolerna 6, VI och 110 är exempel på tal. Talen är uppbyggda av siffror. På vårt språk är siffran 6 och talet 6 samma. Hos romarna krävdes det två siffror för att skriva talet 6. Datorn arbetar bara med två siffror: 1 och 0. Där krävs det tre siffror för talet 6.
Varje siffra betyder ett visst antal. Genom att kombinera siffrorna på rätt sätt, kan man skriva vilket tal som helst. Vi använder oss av tio olika siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Om vi vill skriva ett antal, som är mindre än tio, räcker det att använda en enda siffra.
Om det till exempel sitter fyra personer vid ett bord, kan vi använda siffran 4 för att uttrycka detta antal. Om vi vill uttrycka ett antal som är större än nio, måste vi använda fler siffror. Om det sitter tolv personer vid ett bord, skriver vi detta tal som 12. Talet tolv består av siffrorna 1 och 2. Det är ganska enkelt egentligen.
Positionssystemet
Eftersom vi har tio olika siffror att arbeta med, säger man att basen i vårt talsystem är tio. Vi räknar med ett tiobassystem. En dator arbetar bara med två olika siffror. Den arbetar med ett tvåbassystem, ett så kallat binärt system.
I alla de tre talen 243 , 125 och 762 finns siffran 2 med. Men den står inte på samma plats i de tre talen. Den är olika mycket värd i de tre talen. Siffrans placering, eller position, i ett tal har alltså betydelse för dess värde.
I talet 762 är tvåan bara värd 2
I talet 125 är den värd 20
I talet 243 är den värd 200
I ett heltal står den sista siffran för ental. Den näst sista siffran står för tiotal. Den tredje sista siffran står för hundratal och nästa siffra står för tusental och så vidare. Det är viktigt att förstå att ental eller tiotal och så vidare bara kan bestå av en siffra från 0 till 9. Man kan inte prata om 15 ental. Talet 15 innehåller 5 ental och ett tiotal.
För att förstå att en siffras placering i ett tal har betydelse för dess värde, kan man göra en jämförelse med pengar. Tänk dig att du har fem hundralappar, fyra tiokronorsmynt och sju enkronor. Du har alltså 500 kr + 40 kr + 7 kr. Tillsammans blir det 547 kr.
Femman står för antalet hundratal
Fyran står för antalet tiotal
Sjuan står för antalet ental
Om vi tar ett annat tal, till exempel 9 635, står nian för tusental, sexan för hundratal, trean för tiotal och femman för ental. När du ska lägga ihop flera tal med varandra eller dra ett tal från ett annat, är det viktigt att du vet vad siffrans position har för betydelse.
Decimaler
Alla tal är inte heltal. Vi räknar med tiondelar, hundradelar, tusendelar och ännu mindre delar av ett heltal. För att visa detta har man infört ett komma, som vi kallar decimalkomma. Decimalkommat ska sitta omedelbart efter, eller till höger, om entalssiffran.
Siffror efter decimalkommat kallas decimaler. Första siffran efter decimalkommat talar om antalet tiondelar. Andra siffran efter decimalkommat talar om antalet hundradelar. Därefter kommer tusendelar och så vidare.
För att öka förståelsen kan vi på nytt ta pengarna till hjälp:
Förr fanns det ett litet mynt som kallades för tioöring. Den var värd tio öre eller en tiondel av en krona. Ett annat litet mynt hette ettöring och var värt ett öre eller en hundradel av en krona. Det gick alltså hundra ettöringar eller tio tioöringar på en krona.
Om man på den tiden hade fyra enkonor, sex tioöringar och tre ettöringar, så hade man 4,63 kr. Fyran talar om ental, alltså antalet hela kronor. Sexan talar om antalet tiondelar, alltså antalet tioöringar. Trean talar om antalet hundradelar, eller i vårt fall antalet ettöringar.
Om vi tar ett annat tal, till exempel 1 234,567, står ettan för tusental, tvåan för hundratal, trean för tiotal, fyran för ental, femman för tiondelar, sexan för hundradelar och sjuan för tusendelar. Det är viktigt att skilja på tiotal och tiondelar. På samma sätt måste du skilja hundratal från hundradelar och tusental från tusendelar.
Några termer
När yrkesmän inom ett och samma yrke talar med varandra, använder de ofta fackuttryck för att förkorta språket. På samma sätt är det inom matematiken. Här följer några viktiga uttryck som hör samman med de fyra räknesätten.
Addition:
7 + 9 = 16 eller Term + Term = Summa
Två termer plus varandra bildar en summa.Subtraktion:
9 – 7 = 2 eller Term – Term = Differens eller Skillnad
En term minus en annan term bildar en differens eller skillnad.Multiplikation:
9 · 7 = 63 eller Faktor · Faktor = Produkt
Två faktorer gånger varandra ger en produkt.Division:
20/4 = 5 eller Täljare/Nämnare = Kvot
Täljaren dividerad med nämnaren ger en kvot.
Ett viktigt tillägg
Det finns mycket regler i matematiken. Det är naturligtvis viktigt att du lär dig dem. Men det finns en risk att du litar så mycket på reglerna att du slutar att tänka själv. Det kan kan vara livsfarligt.
Det har hänt mer än en gång att elever fått uppgiften 10 – 0,5 och svarat 0,5. Du förstår hur det går till va? De sätter nollan i 0,5 under ettan i 10. De tycker att de kan reglerna och följer dem till punkt och pricka.
Du måste alltid ställa dig frågan: Är detta rimligt? Om du har tio kolor och skänker bort en halv kola (snåljåp), är det då rimligt att du bara har en halv kola kvar? Denna enkla fråga kan vara till stor hjälp i skolan och i livet.
Här börjar vi genomgången av de fyra räknesätten med addition och subtraktion.